ある確率変数に対する複数のガウス分布の積 - ゆるふわばいおいんふぉまてぃくす

独立な確率変数に対するガウス分布の積は見かけるが、特定の確率変数に対しガウス分布が複数存在する場合の計算を発見できなかったのでまとめてみた。

動的計画法の計算過程で必要となったが、一般的な確率モデルで必要となることはなさそう？

ある確率変数に対するガウス分布の積が以下であるとき

${ \displaystyle \prod_{i=1}^NN(x|\mu_i,\sigma_i^2)=\prod_{i=1}^N\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_i^2}}\times\exp\left( -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i^2}(x-\mu_i)^2 \right) }$

exponentialの中身を展開すると、
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ここで、後半2項をまとめると、
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以上から、正規化係数をひとまず無視すると、もとのガウス分布の積は以下のガウス分布の積となる。
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正規化係数が不要な場合には、一つ目のガウス分布のみが重要で、右側のガウス分布の積はスケーリングに影響するのみである。
上記ガウス分布の積の正規化係数は、
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よって、最後に正規化係数の帳尻を合わせるには以下の係数を掛ける必要がある。
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ちょっと計算が雑多でどこかで計算間違いをしている危険性はあるが、プログラム上でN=5の場合で適当に値を設定していずれも数値計算が一致したのでおそらく正しいだろう。